इसलिए पूर्वजों का मानना ​​था। बेबीलोन

यह उस श्रृंखला की निरंतरता है जिसकी मैंने गणना और गिनती के इतिहास के बारे में कल्पना की थी। मिस्र के बारे में पहला लेख यहाँ है ।

अब मैं अतीत की एक और महान सभ्यता और संस्कृति के बारे में बात करने की कोशिश करूंगा। बेबीलोन का राज्य दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत में उत्पन्न हुआ, इसने सुमेर और अक्कड़ का स्थान लिया और 539 ईसा पूर्व में फारसियों के जीतने से पहले अस्तित्व में रहा। उन्होंने बाबुल में लिखा, जैसा कि सभी को याद है, क्यूनिफॉर्म लेखन के साथ मिट्टी की गोलियों पर, जो कागज, पेपरियस और इसी तरह की चीजों के विपरीत बहुत अच्छी तरह से संरक्षित हैं, इसलिए हम बाबुल और इसके गणित के बारे में काफी कुछ जानते हैं। लेकिन निश्चित रूप से हम सब कुछ नहीं जानते हैं। यूनानियों के विपरीत, बेबीलोनियों ने सटीक एल्गोरिदम और उनकी चाल की स्पष्ट व्याख्या नहीं छोड़ी। अब हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि समस्या को हल करने में बेबीलोन के लोगों ने किसी विशेष मामले में कैसे काम किया। इस काम में, मैं मुख्य रूप से बेबीलोनियन अंकगणितीय पर ध्यान केंद्रित करूंगा, ज्यामिति, बीजगणित और खगोल विज्ञान को एक तरफ छोड़कर।


गणित में बेबीलोन मिस्रियों की तुलना में बहुत आगे चले गए, जहां तक ​​हम जानते हैं, हालांकि वे यूनानियों के बराबर नहीं थे, जाहिरा तौर पर। वे पहले से ही जानते थे कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए, इसके अलावा, उनके पास संख्यात्मक बीजगणित की कुछ अशिष्टताएं थीं। उनकी उपलब्धियों में से एक शून्य के बिना स्थिति छह-दशमलव संख्या प्रणाली की शुरूआत थी। इसका मतलब यह है कि संख्या की हैंडलिंग मिस्र की तुलना में बहुत अधिक लचीली और सरल हो गई है। यह ठीक से ज्ञात नहीं है कि ऐसी व्यवस्था कहां से आई है। एक संस्करण कहता है कि सुमेर और अक्कड़ के लोगों के 6-दशमलव और 10-दशमलव प्रणालियों के मिश्रण ने इसे आगे बढ़ाया। लेकिन इस विषय पर अन्य विचार हैं।
दुर्भाग्य से, यह प्रणाली (शायद सौभाग्य से, मैं उनकी गुणन तालिका सीखना नहीं चाहूंगा) प्राचीन दुनिया के अन्य लोगों द्वारा महारत हासिल नहीं थी, और मुझे भारतीय स्थिति प्रणाली के आगमन की प्रतीक्षा करनी थी। हालांकि, बेबीलोन के गणित का कुछ प्रतिबिंब हमारी संस्कृति में बना हुआ है: एक मिनट को साठ सेकंड और एक घंटे को 60 मिनट से विभाजित करना प्राचीन बेबीलोनियन संख्या प्रणाली की एक प्रतिध्वनि है।

संख्या और संख्या प्रणाली

चित्र दिखाता है कि बेबीलोनियों ने 1 और 10. को कैसे दर्शाया। उनकी मदद से, 1 से 59 तक की सभी संख्याएँ प्रदर्शित की गईं। 33 नंबर नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है। यह रोमन और अन्य गैर-स्थितीय संख्या लेखन प्रणालियों के समान है।



संख्या 60 को इकाई के रूप में निरूपित किया गया था। शुरुआत में, इसे बड़ा खींचा गया था, लेकिन बाद में इस अंतर को मिटा दिया गया था। संख्या 60 से अधिक, लेकिन 120 से कम, निम्नानुसार निर्दिष्ट की गई थी: पहले संख्या 60 लिखी गई थी, फिर शेष संख्या 60 से कम जगह के बाद;
नीचे संख्या 63 का उदाहरण है।



प्रपत्र की संख्या K * 60 + n (1 </ K> <60; n = 1; , 2, 3, ... 59) को सादृश्य द्वारा निर्दिष्ट किया गया था, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण में है।



बेबीलोनियों के पास 0 नहीं थे, लेकिन समय के साथ वे एक संकेत के उपयोग के साथ आए जो कि मिस्ड बिट्स को दर्शाता है। यह चिह्न केवल संख्या के अंदर अंकों के लिए उपयोग किया गया था और इसे अंत में नहीं रखा गया था। यहाँ तस्वीर में एक उदाहरण है।



समस्या यह है कि इस संख्या को 2 * 60 ^ 2 +2 और 2 * 60 ^ 5 + 2 * 60 ^ 3 के रूप में पढ़ा जा सकता है। बेहद असुविधाजनक! इस तरह की रिकॉर्डिंग प्रणाली में कई त्रुटियां होनी चाहिए, क्या आपको नहीं लगता है? बेबीलोनियों ने भ्रम से बचने के लिए डिस्चार्ज को बहुत सावधानी से अलग करने की कोशिश की (मुझसे बहुत अधिक सटीक)। फिर भी, कुछ मामलों में, त्रुटियों की बहुत संभावना है। बड़ी संख्या के उदाहरणों को ज्ञात किया जाता है जब संख्या का हिस्सा दूसरी पंक्ति में स्थानांतरित किया गया था। यहाँ जानने की कोशिश करो कि क्या मतलब था! लेकिन बेबीलोन के ग्रंथों में त्रुटियों की संख्या कम है, हालांकि वे खत्म हो गए हैं।
अंशों को भी उसी तरह से निर्दिष्ट किया गया था। केवल बहुत लोकप्रिय 1/2, 1/3 और 2/3 के लिए विशेष बैज थे।
हर जगह आगे मैं बेबीलोन की संख्याओं को लिखूंगा, एक अल्पविराम का उपयोग करके अंश को अल्पविराम और पूर्णांक से पूर्णांक वाले हिस्से को अलग करना। उदाहरण के लिए: 177 2.57 होगा, आदि। छूटे हुए अंक, मैं 0 को बदल दूंगा।

गणना

चूंकि बेबीलोनियों की प्रणाली स्थितीय थी, इसलिए उनकी गणना हमारे समान थी। घटाना और जोड़ते समय, उन्होंने बस संख्याओं को जोड़ा और घटाया। एक अतिरिक्त प्लस यह था कि छह-दशमलव अंकों को इकाइयों और दसियों का उपयोग करते हुए एक गैर-स्थिति में निर्दिष्ट किया गया था, और ऐसी प्रणाली में हमारे अमूर्त अंकन की तुलना में घटाना और जोड़ना बहुत आसान है, जिसके लिए एक विशेष अतिरिक्त तालिका सीखने की आवश्यकता होती है।
गुणन, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, यह भी हमारे समान ही था। लेकिन उन्होंने अपनी विशाल गुणा तालिका का उपयोग कैसे किया? उसे दिल से सिखाया? उन्होंने विशेष टेबल तैयार किए थे जहाँ वे काम देख सकते थे।
कई बेबीलोन तालिकाओं में बेबीलोनियों से हमारे पास आ गए हैं, लेकिन उन्होंने हमारे दशमलव तालिकाओं की तरह "एकल-मूल्यवान" संख्याओं के सभी उत्पादों को शामिल नहीं किया है। उनकी सारणियाँ 1 से 20 समावेशी से शुरू हुईं, फिर 30, 40, 50 के बाद के कार्य। यदि बेबीलोनियों ने 35 को 47 से गुणा करना चाहा, तो उन्हें तालिका में 35 * 40 और फिर 35 * 7 को खोजने और इसे जोड़ने की आवश्यकता थी। इसके लिए अनावश्यक कार्रवाई की आवश्यकता थी, लेकिन इस तरह से अंतरिक्ष को बचाने में काफी मदद मिली।
विभाजन, एक स्वतंत्र कार्रवाई के रूप में, बेबीलोन के लोग नहीं जानते थे। इसके बजाय, उन्होंने व्युत्क्रम गुणन का उपयोग किया। ऐसा करने के लिए, निश्चित रूप से, उन्हें व्युत्क्रम संख्याओं की तालिकाओं की आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, यदि 1.15 को 5 से विभाजित करना आवश्यक था, तो बेबीलोन ने 1/5 पाया, जो कि हमारे 0 में होगा; 12 होगा और 1.15 को 0 से गुणा किया जाएगा। 12। यदि इस तरह की संख्या एक परिमित हेक्साडेसिमल अंश द्वारा व्यक्त नहीं की गई थी, तो बेबीलोन एक संख्या की तलाश कर रहे थे, जब एक भाजक द्वारा गुणा किया जाता है, तो एक लाभांश दिया जाता है।
उदाहरण के लिए, आपको 22.45.0 को 6.30 से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में, निम्नलिखित स्थिति तैयार की जाती है: “22.45.0 प्राप्त करने के लिए मुझे 6.30 से क्या लेना चाहिए? “उत्तर 3.30 है। बेशक, जब आवश्यक हो, बेबीलोन के लोग अनुमानित मूल्यों का इस्तेमाल करते थे।
उलटा टेबल कुछ इस तरह दिखता था:

2	तीस
3	बीस
4	पंद्रह
5	12
6	10
8	7, 30
9	६; ४०
12	5
पंद्रह	4
सोलह	3, 45
अठारह	3, 20
बीस	3

आदि।
उलटा मूल्यों की तालिका के अलावा, बेबीलोनियों में कई अन्य तालिकाओं थे: वर्ग, क्यूब्स, वर्ग और क्यूबिक जड़ें, और कुछ अन्य।

कार्य

बेबीलोनवासी किन कार्यों को हल करने में सक्षम थे?
उदाहरण के लिए, ये हैं:
"10 भाई और 1 पूरे और 2/3 चांदी की खदानें। भाई, भाई से ऊंचा है। यह कितना ऊंचा है, मुझे नहीं पता। आठवें भाई का हिस्सा 6 शेकेल है। भाई से ज्यादा भाई कितना ऊंचा? “
कार्य भाइयों के बीच राशि को विभाजित करना है ताकि प्रत्येक का हिस्सा एक अंकगणितीय प्रगति हो और इस प्रगति के अंतर को ढूंढें।
बेशक, बेबीलोनियों ने ब्याज की समस्या को भी हल किया। चक्रवृद्धि ब्याज के लिए कार्य शामिल हैं:
“उन्होंने विकास के लिए एक गुरु दिया। कितने सालों में वह खुद पर बढ़ेगा? ”
प्रतिशत 0 माना जाता है, प्रति वर्ष 12; कुछ विद्वानों ने सुझाव दिया है कि बेबीलोनियाई लोगों के पास लॉगरिदमों की रूढ़ियों का स्वामित्व था। दूसरे उनसे असहमत हैं।
एक अन्य उदाहरण में द्विघात समीकरण शामिल हैं:
“मैं दो वर्गों के क्षेत्र को जोड़ता हूं, और यह 37.5 है। एक वर्ग का पक्ष दूसरे वर्ग के पक्ष का 2/3 है। 10 को बड़े के पक्ष में जोड़ा गया, 5 को छोटे के पक्ष में जोड़ा गया। ये वर्ग क्या हैं? "
तालिकाओं में, इन कार्यों को उनके समाधान की व्याख्या के साथ दिया जाता है। आप देख सकते हैं कि बेबिलोनियन द्विघात समीकरण और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को जानते थे।
बेबीलोनवासी वर्ग की जड़ों को भी जानते थे, जिनकी गणना अनुमानित सूत्रों द्वारा की गई थी:
“वर्ग का विकर्ण 10. है। 10 एस 0; 42.30 गुणा 7; 5 भुजा है। 7; 5 एस 1; 25 गुणा। 10; 25 यह देता है। "